Александр Галактионович Анчугов родился 5 августа 1923 года в крестьянской семье в селе Анчугово Анчуговского сельсовета Верхтеченской волости Шадринского уезда Екатеринбургской губернии (ныне деревня Верхнетеченского сельсовета Катайского района Курганской области). Русский.
После окончания Верхнетеченской 7-летней школы поступил в Копейский горный техникум Окончил 1 курс Копейского горного техникума в 1941 году. Из-за материальных трудностей вернулся в с. Анчугово, работал продавцом в сельпо.
В июне 1941 года был призван Уксянским РВК Челябинской области на воинскую службу и направлен в военное училище. В 1942 году окончил ускоренный курс Челябинского танкового училища и с августа того же года — на фронте. Был назначен командиром танкового экипажа, в составе которого участвовал в боях на Калининском фронте. Боевое крещение командир танка 22-й танковой бригады лейтенант Анчугов получил в боях под Ржевом. Подбил фашистский танк, но и сам был ранен.
После лечения в госпитале был направлен в 63-й отдельный танковый полк Воронежского фронта, на базе этого полка позднее была сформирована 242-я танковая бригада. В её составе Анчугов прошёл всю войну. Проявил себя смелым воином и находчивым командиром. В 1943 году за умелые действия в боях на Курской дуге и проявленные при этом мужество и находчивость был награждён орденом Красной Звезды и назначен командиром танкового взвода. За бои по освобождению Украины зимой 1944 года Анчугов был удостоен второго ордена Красной Звезды и Почётной грамоты ЦК ВЛКСМ.
В ночь на 19 июня 1944 года танковая рота 1-го танкового батальона 242-й танковой бригады (31-й танковый корпус, 1-й Украинский фронт) под командованием старшего лейтенанта Анчугова ворвалась в село Ясенов (Бродовский район Львовской области) и перерезала шоссе Броды — Львов. Огнём и гусеницами экипаж старшего лейтенанта Анчугова уничтожил два пулемётных расчёта, тягач, восемь подвод с вооружением и 35 вражеских солдат и офицеров. Было подбито несколько фашистских танков.
Через день, выполняя задачу по овладению поселка Олеско и деревни Хватов (Бусский район Львовской области), рота уничтожила 5 противотанковых орудий, 4 тягача и свыше роты гитлеровцев. В разгар преследования отступающего противника командир роты был ранен в голову осколком вражеского снаряда, но продолжал руководить боем.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 23 сентября 1944 года командиру танковой роты за мужество и отвагу, проявленное при разгроме вражеского противотанкового узла под Львовом старшему лейтенанту Анчугову Александру Галактионовичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 4494).
О присвоении высокого звания герой-танкист узнал в госпитале. После выздоровления в январе 1945 года был направлен на учёбу в Ленинградскую высшую офицерскую бронетанковую школу. На фронт больше не вернулся.
После Победы продолжил службу в армии. С 1946 года — член ВКП(б). Служил в танковых частях на Камчатке, в Новосибирске и в Закарпатье. С 1956 года гвардии подполковник Анчугов — в запасе.
Жил в городе Иваново. Работал слесарем-механиком комбината «Росторгмонтаж». В 1972 году переехал в город Архангельск. В 1977—1979 гг. работал в Северной авиабазе авиационной охраны лесов старшим десантником-пожарным в Архангельском авиаотделении в Кегострове и на Левковке. Не раз в составе вертолётного десанта вылетал на пожары, командовал группой и сам на огневом рубеже орудовал лопатой или другими средствами.
